ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1ης ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Abstract

Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με τις διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης και εφαρμογή στα ηλεκτρικά κυκλώματα. Θα δούμε τι σημαίνει ο όρος διαφορικές εξισώσεις πού εφαρμόζονται όπως στην ηλεκτροδυναμική, στην κλασική μηχανική, στην εξίσωση θερμότητας στην γενική θεωρία της σχετικότητα, στην χημεία ,στην βιολογία, στην οικονομία. Κατόπιν θα εξετάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης πότε μια Δ.Ε καλείται ότι έχει κανονική μορφή και με μερικές παραγώγους επίσης δούμε τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που είναι σημαντικές για τα ηλεκτρικά κυκλώματα και πότε είναι ομογενής την μορφή τους και την γενική λύση τους .Τέλος θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις πότε καλούμε λύση του ολοκληρώματος και την ιδιάζουσα λύση . Το δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας είναι αφιερωμένο στα ηλεκτρικά κυκλώματα και πώς συνδέονται οι διαφορικές εξισώσεις. Θα δούμε στην αρχή τί είναι η ένταση του ρεύματος , η ενέργεια ισχύς , τι είναι οι αντίσταση , αυτεπαγωγή με το πηνίο , χωρητικότητα με τον πυκνωτή , σε παράδειγμα θα αναφέρουμε πως συνδέονται σε σειρά και ποιοι οι τύποι εισόδων του κυκλώματος τι είναι η διέγερση του κυκλώματος. Συνεχίζοντας θα εστιάσουμε πολύ στα ηλεκτρικά κυκλώματα πρώτης τάξης και πότε έχουμε την μεταβατική περίοδο , την απόκριση σε αρχικές συνθήκες . Προχωράμε στην εκφόρτωση του πυκνωτή την συνεχή τάση στα άκρα ενός πυκνωτή και ενός πηνίου και έπονται τα σύνθετα κυκλώματα RL και RC . Θα ακολουθήσουν οι στοιχειώδες ομαλοί είσοδοι δηλαδή εκθετική είσοδος πότε έχουμε απόκριση σε παλμό για το ρεύμα και την τάση. Τέλος θα εστιάσουμε την προσοχή μας στην λειτουργία των κυκλωμάτων με την κρουστική απόκριση και τον αναλυτικό προσδιορισμό της απόκρισης και των ημιτονοειδών διεγέρσεων RC και RL το πρόβλημα αναλύσεως του δικτύου και θα σχολιάσουμε τις παρατηρήσεις σχετικά́ με τις αρχικές συνθήκες , επίσης πολύ σημαντικές είναι οι ιδιότητες των γραμμικών κυκλωμάτων και πότε χρησιμοποιούμε τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις , την αρχή της επαλληλίας και την ευστάθεια της απόκρισης .Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας θα δούμε σφαιρικά τον μετασχηματισμό Laplace την μορφή του που είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση ,την μιγαδική μεταβλητή του και την μιγαδική συνάρτηση .Θα δούμε πώς συνδέεται ο μετασχηματισμός Laplace με τις εξισώσεις των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα , όπως την ωμική αντίσταση R το πηνίο με την αυτοεπαγωγή L τον πυκνωτή με την χωρητικότητα C και το πεδίο S.