Μετασχηματισμός Laplace για την επίλυση προβλημάτων μηχανικών

Abstract

O σκοπός αυτής της πτυχιακής είναι μελέτη του Μετασχηματισμού Laplace στην εφαρμογή προβλημάτων μηχανικών. Μέσω του τελεστή Laplace προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε μία συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, συνήθως ως προς το χρόνο, σε μία συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής, ώστε να μπορέσουμε σε φυσικά μη προβλεπόμενα συστήματα να εξετάσουμε την απόκριση και να τα εφαρμόσουμε ευρέως στην πράξη. Με την μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου, στο πεδίο της μιγαδικής μεταβλητής και στην αλλαγή της χρονικής κλίμακας αναλύουμε ένα σύστημα, το συνθέτουμε και δημιουργούμε ένα σχέδιο ώστε να γνωρίζουμε πιο καλά ένα σύστημα και να το βελτιώνουμε. Ετσι μπορούμε και μελετάμε μεταβατικά φαινόμενα σε ηλεκτρικά κυκλώματα 2ης τάξης, τη συνέλιξη συναρτήσεων, τη συνάρτηση μεταφοράς, τον συντονισμό στο κύκλωμα RLC σειράς, τον συντονισμό στο παράλληλο κύκλωμα RLC, την απόκριση συχνότητας, τα διαγράμματα Bode, τις σειρές Fourier, τον μετασχηματισμό Fourier και τα τετράπολα. O μετασχηματισμός Laplace είναι επομένως ένα ιδανικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών όπως εκείνα που εμφανίζονται στην έρευνα για τα ηλεκτρικά κυκλώματα και τις μηχανικές δονήσεις. Οι μέθοδοι μετασχηματισμού Laplace παίζουν έναν βασικό ρόλο στην σύγχρονη προσέγγιση στην ανάλυση και το σχέδιο των συστημάτων εφαρμοσμένης μηχανικής.

Στην παρούσα Πτυχιακή εργασία δείχνουμε με παραδείγματα πως λαμβάνουμε τον μετασχηματισμό Laplace μερικών απλών συναρτήσεων, πως υπολογίζονται ο αντίστροφος μετασχηματισμός, πως υπολογίζονται ο μετασχηματισμός των ολοκληρωμάτων πως χρησιμοποιούμε τις μεθόδους του μετασχηματισμού Laplace για να λύσουμε τις συνήθεις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, ποια η εφαρμογή στα Ηλεκτρικά κυκλώματα , ποια η εφαρμογή στις Μηχανικές δονήσεις, ποια η εφαρμογή στις συναρτήσεις βήματος και ώθησης, ποια η εφαρμογή Διαφορικές εξισώσεις, ποια η εφαρμογή στις Περιοδικές συναρτήσεις.

Έτσι το πρόβλημα που αντιμετωπίζει ο μηχανικός στον καθορισμό της εξόδου του συστήματος x (t ), όταν υποβάλλεται σε μια είσοδο u (t) εφαρμοσμένη σε κάποια στιγμή του χρόνου, βρίσκει με τον μετασχηματισμό Laplace τη σχέση μεταξύ της εξόδου και της εισόδου και τους νόμους που διέπουν την συμπεριφορά του συστήματος. Εάν το σύστημα είναι γραμμικό και αμετάβλητο στο χρόνο τότε η έξοδος συσχετίζεται με την είσοδο με μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, και έχουμε ένα τυπικό πρόβλημα αρχικών τιμών, το οποίο υπόκειται στη λύση με χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Ο μετασχηματισμός Laplace οδηγεί σε μια ενοποιημένη προσέγγιση και παρέχει στον μηχανικό μεγαλύτερη διορατικότητα στη συμπεριφορά του συστήματος.